Stab-Element R2
R: Rod, 2: Zwei Knoten
Bezeichnungen
Bezugssystem, Kräfte, Verschiebungen
\((x,y,z)\): Rechtssystem.
\((\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_2)\): Knotenverschiebungen.
\(S\): Stab-Zugkraft.
\((\boldsymbol F_1, \boldsymbol F_2)\): Resultierende der - abgesehen von \(S\) - an den Knoten wirkenden Kräfte.
Einheitsvektor \(\boldsymbol e\) und Winkel \(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)
Richtung von \(\boldsymbol e\): Vom ersten Knoten 1 zum zweiten Knoten 2.
Zählrichtung von \(\varphi\): Positiv um die (in den ersten Knoten verschobene) \(z\)-Achse.
Nullpunkt von \(\varphi\): (In den ersten Knoten verschobene) \(x\)-Achse.
Geometrie und Material
\((l, \Delta l)\): (Stablänge undeformiert, Stabverlängerung).
\((E, A)\): (Elastiztätsmodul des Stab-Materials, Querschnittsfläche).
Modell-Gleichungen
Gleichgewicht
Die \((x,y)\)-Komponenten von \(S = F_1 = F_2\):
mit den Abkürzungen \((c, s) = \left(\cos\varphi, \sin\varphi\right)\). Zusammengefasst:
Elastizität
Hookesches Gesetz:
Kinematik
Wie gezeigt ist in rod-lin, gilt näherungsweise:
Hint
Skalarprodukt wurde mit Matrix-Multiplikation berechnet.
Steifigkeitsmatrix / Lineares System
Einsetzen von (2) und (3) in (1) liefert den Zusammenhang zwischen den äußeren Knoten-Lasten und den Knoten-Verschiebungen:
Diese Gleichung noch einmal anders geschrieben, so dass man den linearen Zusammenhang zwischen Kräften und Verschiebungen über die Element-Steifigkeitsmatrix \(k\) erkennen kann:
Eine erweiterte Element-Steifigkeitsmatrix \(k^|\) wird definiert. Sie bietet den Vorteil, dass die Freiheitsgrade \((u_{1x}, u_{1y}, u_{2x}, u_{2y})\) sichtbar sind, auf die sich die Steifigkeitsmatrix bezieht.
Vertauschung von Zeilen
Vertauschung der Knoten-Reihenfolge
Die Matrix \(k\) bleibt (wegen ihrer Symmetrie) unverändert, wenn man die Aussagen anders notiert.
Auch in der erweiterten Steifigkeitsmatrix darf man also in der Erweiterungs-Spalte die Knoten vertauschen.
Äquivalente Knotenlasten
Wenn an einem Stab außer den äußeren Knotenlasten noch andere äußere Lasten wirken, dann:
müssen diese anderen äußeren Lasten umgerechnet werden in sogenannte äquivalente Knotenlasten \((A_{1x}, A_{1y}, A_{2x}, A_{2y})\) und
muss die rechte Seite des linearen Systems ergänzt werden um diese äquivalenten Knotenlasten.
Video
Details
1. Verteilte Last und Resultierende
Resultierende \(R\) von \(n\) wirkend zwischen \(0\) und \(\xi\):
2. Stab-Zugkraft
Stab-Zugkraft \(S\) vor und hinter der Einzellast \(S_\xi\) aus Gleichgewichtsbedingung:
mit der Kraft \(S_\xi\): Kraft bei \(\xi=\xi_S\).
3. Kompatibilität
Kompatibilität: Verlängerung \(\int_{\xi=0}^1 \varepsilon\, l \mathsf{d}\xi\) ist gleich Null:
mit dem über den Stab gemittelten Temperaturzuwachs \(\Delta T\).
Berechnung der Unbekannten
Dies sind drei Gleichungen zur Berechnung der drei Unbekannten \((R, S, A_1)\). Zunächst lässt sich \(R\) eliminieren. Dies liefert zwei Gleichungen zur Berechnung der zwei Unbekannten \((S, A_1)\):
Hierin lässt sich \(S\) eliminieren. Dies führt auf eine Gleichung für \(A_1\):
Sobald \(A_1\) berechnet ist, lässt sich \(A_2\) berechnen: