Stab-Element R2

R: Rod, 2: Zwei Knoten

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2-Knoten-Stab-Element in 2D mit 4 Freiheitsgraden

Bezeichnungen

Bezugssystem, Kräfte, Verschiebungen

  • \((x,y,z)\): Rechtssystem.

  • \((\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_2)\): Knotenverschiebungen.

  • \(S\): Stab-Zugkraft.

  • \((\boldsymbol F_1, \boldsymbol F_2)\): Resultierende der - abgesehen von \(S\) - an den Knoten wirkenden Kräfte.

Einheitsvektor \(\boldsymbol e\) und Winkel \(0^\circ \le \varphi < 360^\circ\)

  • Richtung von \(\boldsymbol e\): Vom ersten Knoten 1 zum zweiten Knoten 2.

  • Zählrichtung von \(\varphi\): Positiv um die (in den ersten Knoten verschobene) \(z\)-Achse.

  • Nullpunkt von \(\varphi\): (In den ersten Knoten verschobene) \(x\)-Achse.

Geometrie und Material

  • \((l, \Delta l)\): (Stablänge undeformiert, Stabverlängerung).

  • \((E, A)\): (Elastiztätsmodul des Stab-Materials, Querschnittsfläche).

Modell-Gleichungen

Gleichgewicht

Die \((x,y)\)-Komponenten von \(S = F_1 = F_2\):

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \end{bmatrix} &= -S \begin{bmatrix} c \\ s \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} &= S \begin{bmatrix} c \\ s \end{bmatrix}\end{split}\]

mit den Abkürzungen \((c, s) = \left(\cos\varphi, \sin\varphi\right)\). Zusammengefasst:

\begin{align} \label{eq-rod-1} \begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \\ F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - c \\ -s \\ c \\ s \end{bmatrix} S \tag{1} \end{align}

Elastizität

Hookesches Gesetz:

\begin{align} \label{eq-rod-2} S = \tfrac{EA}{l} \Delta l \tag{2} \end{align}

Kinematik

Wie gezeigt ist in rod-lin, gilt näherungsweise:

\begin{align} \label{eq-rod-3} \Delta l &= \boldsymbol e \cdot \left(\boldsymbol u_2 - \boldsymbol u_1 \right) \\ \notag &= \begin{bmatrix} c & s \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \end{bmatrix} \right\} \notag \\ &= \begin{bmatrix} -c & -s & c & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \\ u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix} \tag{3} \end{align}

Hint

Skalarprodukt wurde mit Matrix-Multiplikation berechnet.

Steifigkeitsmatrix / Lineares System

Einsetzen von (2) und (3) in (1) liefert den Zusammenhang zwischen den äußeren Knoten-Lasten und den Knoten-Verschiebungen:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \\ F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix} = \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} - c \\ -s \\ c \\ s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -c & -s & c & s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \\ u_{2x} \\ u_{2y} \end{bmatrix}\end{split}\]

Diese Gleichung noch einmal anders geschrieben, so dass man den linearen Zusammenhang zwischen Kräften und Verschiebungen über die Element-Steifigkeitsmatrix \(k\) erkennen kann:

\[\begin{split}\underbrace{ \tfrac{EA}{l} \begin{bmatrix} c^2 & cs & -c^2 & -cs \\ cs & s^2 & -cs & -s^2 \\ -c^2 & -cs & c^2 & cs \\ -cs & -s^2 & cs & s^2 \\ \end{bmatrix} }_k \begin{bmatrix} u_{1x} \\ u_{1y} \\ u_{2x} \\ u_{2y} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_{1x} \\ F_{1y} \\ F_{2x} \\ F_{2y} \end{bmatrix}\end{split}\]

Eine erweiterte Element-Steifigkeitsmatrix \(k^|\) wird definiert. Sie bietet den Vorteil, dass die Freiheitsgrade \((u_{1x}, u_{1y}, u_{2x}, u_{2y})\) sichtbar sind, auf die sich die Steifigkeitsmatrix bezieht.

\begin{align*} k^| = \tfrac{EA}{l} \left[ \begin{array}{cccc|c} c^2 & cs & -c^2 & -cs & u_{1x} \\ cs & s^2 & -cs & -s^2 & u_{1y} \\ -c^2 & -cs & c^2 & cs & u_{2x} \\ -cs & -s^2 & cs & s^2 & u_{2y} \\ \end{array} \right] \end{align*}

Vertauschung von Zeilen

Vertauschung der Knoten-Reihenfolge

  • Die Matrix \(k\) bleibt (wegen ihrer Symmetrie) unverändert, wenn man die Aussagen anders notiert.

  • Auch in der erweiterten Steifigkeitsmatrix darf man also in der Erweiterungs-Spalte die Knoten vertauschen.

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Äquivalente Knotenlasten

Wenn an einem Stab außer den äußeren Knotenlasten noch andere äußere Lasten wirken, dann:

  • müssen diese anderen äußeren Lasten umgerechnet werden in sogenannte äquivalente Knotenlasten \((A_{1x}, A_{1y}, A_{2x}, A_{2y})\) und

  • muss die rechte Seite des linearen Systems ergänzt werden um diese äquivalenten Knotenlasten.

Video

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Äquivalente Knotenlasten \(\left(A_{1x}, A_{1y}, A_{2x}, A_{2y}\right)\) aufgrund äußerer Lasten \(n, T, S_\xi\) zwischen den Element-Knoten. Oben: Berechnung von \(A_1\) und \(A_2\). Unten: Ergebnisse für Beispiele.

Details

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1. Verteilte Last und Resultierende

Resultierende \(R\) von \(n\) wirkend zwischen \(0\) und \(\xi\):

\[R = \int_{\tilde \xi=0}^\xi n \, l \mathsf{d}\tilde \xi\]

2. Stab-Zugkraft

Stab-Zugkraft \(S\) vor und hinter der Einzellast \(S_\xi\) aus Gleichgewichtsbedingung:

\[\begin{split}S = \begin{cases} A_1 - R \qquad\qquad\, \xi < \xi_S \\ A_1 - R - S_\xi \qquad \xi > \xi_S \end{cases}\end{split}\]

mit der Kraft \(S_\xi\): Kraft bei \(\xi=\xi_S\).

3. Kompatibilität

Kompatibilität: Verlängerung \(\int_{\xi=0}^1 \varepsilon\, l \mathsf{d}\xi\) ist gleich Null:

\[\begin{split}\int_{\xi=0}^1 \underbrace{\left(\tfrac{S}{EA} + \alpha T \right)}_\varepsilon \, \mathsf{d}\xi &= 0 \\ \Leftrightarrow \qquad \tfrac{1}{EA} \int_{\xi=0}^1 S\,\mathsf{d}\xi + \alpha \underbrace{\int_{\xi=0}^1 T \,\mathsf{d}\xi}_{\Delta T} &= 0 \\ \Leftrightarrow \qquad \int_{\xi=0}^1 S \,\mathsf{d}\xi + EA \alpha \Delta T &= 0\end{split}\]

mit dem über den Stab gemittelten Temperaturzuwachs \(\Delta T\).

Berechnung der Unbekannten

Dies sind drei Gleichungen zur Berechnung der drei Unbekannten \((R, S, A_1)\). Zunächst lässt sich \(R\) eliminieren. Dies liefert zwei Gleichungen zur Berechnung der zwei Unbekannten \((S, A_1)\):

\[\begin{split}S &= \begin{cases} A_1 - \int_{\tilde \xi=0}^\xi n_{\tilde \xi} \, l \mathsf{d}\tilde \xi \qquad\qquad\, \xi < \xi_S \\ A_1 - \int_{\tilde \xi=0}^\xi n_{\tilde \xi} \, l \mathsf{d}\tilde \xi - S_\xi \qquad \xi > \xi_S \\ \end{cases} \\ 0 &= \int_{\xi=0}^1 S \,\mathsf{d}\xi + EA \alpha \Delta T\end{split}\]

Hierin lässt sich \(S\) eliminieren. Dies führt auf eine Gleichung für \(A_1\):

\[A_1 = \int_{\xi=0}^1 \underbrace{\int_{\tilde \xi=0}^\xi n_{\tilde \xi} \, l \, \mathsf{d}\tilde \xi}_{R} \,\,\mathsf{d}\xi + \int_{\xi=\xi_S}^1 S_\xi \,\mathsf{d}\xi - EA \alpha \int_{\xi=0}^1 T \,\mathsf{d}\xi\]

Sobald \(A_1\) berechnet ist, lässt sich \(A_2\) berechnen:

\[A_2 = A_1 - \int_{\xi=0}^1 n \, l \mathsf{d} \xi - S_\xi\]